Zahlentheorie
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Sage hat für Zahlentheorie eine ausgiebige Funktionsvielfalt. Zum
Beispiel können wir Arithmetik in :math:`\ZZ/N\ZZ` wie folgt betreiben:

::

    sage: R = IntegerModRing(97)
    sage: a = R(2) / R(3)
    sage: a
    33
    sage: a.rational_reconstruction()
    2/3
    sage: b = R(47)
    sage: b^20052005
    50
    sage: b.modulus()
    97
    sage: b.is_square()
    True

Sage enthält standardmäßige zahlentheoretische Funktionen. Zum Beispiel:

::

    sage: gcd(515,2005)
    5
    sage: factor(2005)
    5 * 401
    sage: c = factorial(25); c
    15511210043330985984000000
    sage: [valuation(c,p) for p in prime_range(2,23)]
    [22, 10, 6, 3, 2, 1, 1, 1]
    sage: next_prime(2005)
    2011
    sage: previous_prime(2005)
    2003
    sage: divisors(28); sum(divisors(28)); 2*28
    [1, 2, 4, 7, 14, 28]
    56
    56

Perfekt!

Sages ``sigma(n,k)``-Funktion summiert die :math:`k^{ten}` Potenzen der
Teiler von ``n``:

::

    sage: sigma(28,0); sigma(28,1); sigma(28,2)
    6
    56
    1050

Als nächstes illustrieren wir den erweiterten euklidischen
Algorithmus, Eulers :math:`\phi`-Funktion, und den chinesischen
Restsatz:

::

    sage: d,u,v = xgcd(12,15)
    sage: d == u*12 + v*15
    True
    sage: n = 2005
    sage: inverse_mod(3,n)
    1337
    sage: 3 * 1337
    4011
    sage: prime_divisors(n)
    [5, 401]
    sage: phi = n*prod([1 - 1/p for p in prime_divisors(n)]); phi
    1600
    sage: euler_phi(n)
    1600
    sage: prime_to_m_part(n, 5)
    401

Als nächstes verifizieren wir ein Beispiel des :math:`3n+1` Problems.

::

    sage: n = 2005
    sage: for i in range(1000):
    ....:     n = 3*odd_part(n) + 1
    ....:     if odd_part(n)==1:
    ....:         print(i)
    ....:         break
    38

Schließlich illustrieren wir den chinesischen Restsatz.

::

    sage: x = crt(2, 1, 3, 5); x
    11
    sage: x % 3  # x mod 3 = 2
    2
    sage: x % 5  # x mod 5 = 1
    1
    sage: [binomial(13,m) for m in range(14)]
    [1, 13, 78, 286, 715, 1287, 1716, 1716, 1287, 715, 286, 78, 13, 1]
    sage: [binomial(13,m)%2 for m in range(14)]
    [1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1]
    sage: [kronecker(m,13) for m in range(1,13)]
    [1, -1, 1, 1, -1, -1, -1, -1, 1, 1, -1, 1]
    sage: n = 10000; sum([moebius(m) for m in range(1,n)])
    -23
    sage: Partitions(4).list()
    [[4], [3, 1], [2, 2], [2, 1, 1], [1, 1, 1, 1]]

:math:`p`-adische Zahlen
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Der Körper der :math:`p`-adischen Zahlen ist in Sage
implementiert. Beachten Sie, dass sobald Sie einen :math:`p`-adischer Körper
erzeugt haben, dessen Genauigkeit nicht mehr ändern können.

::

    sage: K = Qp(11); K
    11-adic Field with capped relative precision 20
    sage: a = K(211/17); a
    4 + 4*11 + 11^2 + 7*11^3 + 9*11^5 + 5*11^6 + 4*11^7 + 8*11^8 + 7*11^9
      + 9*11^10 + 3*11^11 + 10*11^12 + 11^13 + 5*11^14 + 6*11^15 + 2*11^16
      + 3*11^17 + 11^18 + 7*11^19 + O(11^20)
    sage: b = K(3211/11^2); b
    10*11^-2 + 5*11^-1 + 4 + 2*11 + O(11^18)

In die Implementierung von weiteren Ringen von Zahlen über :math:`p`-adischen
Körpern ist viel Arbeit geflossen. Der interessierte Leser ist dazu
eingelanden, die Experten in der ``sage-support`` Google-Gruppe nach
weiteren Details zu fragen.

Eine Vielzahl relevanter Methoden sind schon in der NumberField Klasse
implementiert.

::

    sage: R.<x> = PolynomialRing(QQ)
    sage: K = NumberField(x^3 + x^2 - 2*x + 8, 'a')
    sage: K.integral_basis()
    [1, 1/2*a^2 + 1/2*a, a^2]

.. link

::

    sage: K.galois_group()
    Galois group 3T2 (S3) with order 6 of x^3 + x^2 - 2*x + 8

.. link

::

    sage: K.polynomial_quotient_ring()
    Univariate Quotient Polynomial Ring in a over Rational Field with modulus
    x^3 + x^2 - 2*x + 8
    sage: K.units()
    (3*a^2 + 13*a + 13,)
    sage: K.discriminant()
    -503
    sage: K.class_group()
    Class group of order 1 of Number Field in a with defining polynomial x^3 + x^2 - 2*x + 8
    sage: K.class_number()
    1
